Информация о задаче

Задача 108505

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса 5 вписан квадрат. На окружности отмечена точка, расстояние от которой до одной из вершин квадрата равно 6. Найдите расстояния от этой точки до трёх других вершин квадрата.

Подсказка

Примените теорему косинусов.

Решение

Пусть расстояние от точки M, лежащей на окружности, описанной около квадрата ABCD, до вершины A равно 6. Поскольку сторона квадрата равна 5 $\sqrt{2}$ > 6, то точка M лежит на меньшей дуге AB (или AD). Тогда

$\displaystyle \angle$ AMC = $\displaystyle \angle$ ABC = 90^o, $\displaystyle \angle$ DMC = $\displaystyle \angle$ DBC = 45^o = $\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \angle$ CMB.

Обозначим MB = x, MC = y, MD = z. Тогда

y = MC = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}-AM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8.

Применяя теорему косинусов к треугольнику DMC, получим уравнение

DC² = MD² + MC² - 2MD^.MC^.cos $\displaystyle \angle$ DMC, или 50 = z² + 8² - 2^.8z^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ ,

причём z > 6. Отсюда находим, что z = 7 $\sqrt{2}$ .

Применяя теорему косинусов к треугольнику BMC аналогично находим, что x = $\sqrt{2}$ .

Ответ

8, $\sqrt{2}$ , 7 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3990