ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108507
УсловиеВ выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM и LN пересекаются в точке E. Площади четырёхугольников AKEN, BKEL и DNEM равны соответственно 6, 6 и 12. Найдите: а) площадь четырёхугольника CMEL; б) отрезок CD, если AB = .
ПодсказкаДокажите, что данный четырёхугольник — трапеция.
РешениеИзвестно, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому KLMN — параллелограмм. Значит, E — середина LN. Поскольку EK — медиана треугольника AEB, то треугольники AEK и BEK равновелики, а т.к. равновелики четырёхугольники AKEN и BKEL, то SAEN = SBEL. Основания NE и LE равновеликих треугольников AEN и BEL равны, значит равны их высоты, опущенные на эти основания. Таким образом, точки A и B равноудалены от прямой NL. Следовательно, LN || AB. Поскольку L и N — середины отрезков BC и AD, то CD || AB. Значит, ABCD и CDNL — трапеции. Поскольку точки E и M — середины оснований трапеции CDNL, то SCMEL = SDNEM = 12. Пусть прямая, проходящая через вершину B параллельно AD, пересекает NL в точке P, а прямая, проходящая через точку L параллельно AD, пересекает CD в точке Q. Из равенства треугольников BPL и LQC следует, что LP = CQ Обозначим CD = x, LN = y. Тогда
LP = NL - NP = NL - AB = y - , CQ = CD - DR = CD - LN = x - y.
Поэтому
x - y = y - . Поскольку площадь трапеции CDNL вдвое больше площади
трапеции ABLN, то
(x + y) = 2 . y + .
Из системы
ОтветС) 12; Т) .
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|