Информация о задаче

Задача 108507

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM и LN пересекаются в точке E. Площади четырёхугольников AKEN, BKEL и DNEM равны соответственно 6, 6 и 12. Найдите:

а) площадь четырёхугольника CMEL;

б) отрезок CD, если AB = ${\frac{1}{2}}$ .

Подсказка

Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция.

Решение

Известно, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому KLMN — параллелограмм. Значит, E — середина LN. Поскольку EK — медиана треугольника AEB, то треугольники AEK и BEK равновелики, а т.к. равновелики четырёхугольники AKEN и BKEL, то S_AEN = S_BEL. Основания NE и LE равновеликих треугольников AEN и BEL равны, значит равны их высоты, опущенные на эти основания. Таким образом, точки A и B равноудалены от прямой NL. Следовательно, LN || AB.

Поскольку L и N — середины отрезков BC и AD, то CD || AB. Значит, ABCD и CDNL — трапеции. Поскольку точки E и M — середины оснований трапеции CDNL, то S_CMEL = S_DNEM = 12.

Пусть прямая, проходящая через вершину B параллельно AD, пересекает NL в точке P, а прямая, проходящая через точку L параллельно AD, пересекает CD в точке Q. Из равенства треугольников BPL и LQC следует, что LP = CQ

Обозначим CD = x, LN = y. Тогда

LP = NL - NP = NL - AB = y - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , CQ = CD - DR = CD - LN = x - y.

Поэтому x - y = y - ${\frac{1}{2}}$ . Поскольку площадь трапеции CDNL вдвое больше площади трапеции ABLN, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (x + y) = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{y+\frac{1}{2}}\right.$ y + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{y+\frac{1}{2}}\right)$ .

Из системы

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 2y-x = \frac{1}{2}\\ x-y = 1,\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 2y-x = \frac{1}{2}\\ x-y = 1,\\ \end{array}$

находим, что x = ${\frac{5}{2}}$ .

Ответ

С) 12; Т) ${\frac{5}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3992