ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108507
Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Площадь трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM и LN пересекаются в точке E. Площади четырёхугольников AKEN, BKEL и DNEM равны соответственно 6, 6 и 12. Найдите:

а) площадь четырёхугольника CMEL;

б) отрезок CD, если AB = $ {\frac{1}{2}}$.


Подсказка

Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция.


Решение

Известно, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому KLMN — параллелограмм. Значит, E — середина LN. Поскольку EK — медиана треугольника AEB, то треугольники AEK и BEK равновелики, а т.к. равновелики четырёхугольники AKEN и BKEL, то S$\scriptstyle \Delta$AEN = S$\scriptstyle \Delta$BEL. Основания NE и LE равновеликих треугольников AEN и BEL равны, значит равны их высоты, опущенные на эти основания. Таким образом, точки A и B равноудалены от прямой NL. Следовательно, LN || AB.

Поскольку L и N — середины отрезков BC и AD, то CD || AB. Значит, ABCD и CDNL — трапеции. Поскольку точки E и M — середины оснований трапеции CDNL, то SCMEL = SDNEM = 12.

Пусть прямая, проходящая через вершину B параллельно AD, пересекает NL в точке P, а прямая, проходящая через точку L параллельно AD, пересекает CD в точке Q. Из равенства треугольников BPL и LQC следует, что LP = CQ

Обозначим CD = x, LN = y. Тогда

LP = NL - NP = NL - AB = y - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CQ = CD - DR = CD - LN = x - y.

Поэтому x - y = y - $ {\frac{1}{2}}$. Поскольку площадь трапеции CDNL вдвое больше площади трапеции ABLN, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(x + y) = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{y+\frac{1}{2}}\right.$y + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{y+\frac{1}{2}}\right)$.

Из системы

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
2y-x = \frac{1}{2}\\
x-y = 1,\\
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
2y-x = \frac{1}{2}\\
x-y = 1,\\
\end{array}$

находим, что x = $ {\frac{5}{2}}$.


Ответ

С) 12; Т) $ {\frac{5}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3992

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .