Информация о задаче

Задача 108509

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 3 проходит через вершины A и B прямоугольного треугольника ABC с катетом AB = 5. Прямая CD касается этой окружности в точке D. Найдите величину угла ABD и длину второго катета AC, если луч DA делит угол CDB пополам.

Подсказка

Примените теорему об угле между касательной и хордой и теорему синусов.

Решение

Обозначим $\angle$ ADC = $\angle$ ADB = $\alpha$ . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle \angle$ ADB $\displaystyle \alpha$ .

Значит, треугольник ABD — равнобедренный. Поэтому $\alpha$ < 90^o. Следовательно, точка D лежит на большей дуге AB.

Поскольку R = 3 — радиус окружности, описанной около треугольника ADB, то

sin $\displaystyle \angle$ ADB = sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AB}{2R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{6}}$ .

Следовательно, $\angle$ ABD = arcsin ${\frac{5}{6}}$ . Кроме того, sin $\alpha$ = ${\frac{5}{6}}$ > ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$ , поэтому $\alpha$ > 45^o. Докажем, что точка D лежит внутри угла BAC. Предположим, что это не так (рис.2). Пусть луч DA пересекает отрезок BC в точке M. Тогда

90^o = $\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \angle$ CAM + $\displaystyle \angle$ BAM > $\displaystyle \angle$ CDA + $\displaystyle \angle$ BDA = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha$ > 90^o,

что невозможно. Следовательно, точка D лежит внутри угла BAC (рис.1).

Поскольку

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ CAB - $\displaystyle \angle$ DAB = 90^o - (180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ) = 90^o + 2 $\displaystyle \alpha$ ,

то

sin $\displaystyle \angle$ ACD = sin(180^o - ( $\displaystyle \angle$ CAD + $\displaystyle \angle$ ADC)) = sin( $\displaystyle \angle$ CAD + $\displaystyle \angle$ ADC) =

= sin(90^o + 2 $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha$ ) = sin(90^o + 3 $\displaystyle \alpha$ ) = - cos 3 $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов из треугольника ACD находим, что

AC = AD^. $\displaystyle {\frac{\sin \angle ADC}{\sin \angle ACD}}$ = 5^. $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{-\cos 3\alpha}}$ =

= $\displaystyle {\frac{5\sin \alpha}{\cos \alpha (4\sin^{2} \alpha-1)}}$ = $\displaystyle {\frac{5\cdot \frac{5}{6}}{\sqrt{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{2}} \cdot \left(4\cdot \frac{25}{36}-1\right)}}$ = $\displaystyle {\frac{225}{16\sqrt{11}}}$ .

Ответ

arcsin ${\frac{5}{6}}$ , ${\frac{225}{16\sqrt{11}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3994