Информация о задаче

Задача 108513

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол при вершине B равен ${\frac{\pi}{3}}$ , а отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами A и C, равны 4 и 6 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Подсказка

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда $\angle$ AOC = 120^o. Далее примените теорему косинусов и выразите двумя способами площадь треугольника AOC.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Поскольку AO и BO — биссектрисы углов BAC и ACB, то

$\displaystyle \angle$ AOC = 180^o - $\displaystyle {\frac{180^{\circ}-\angle ABC}{2}}$ = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ABC = 90^o + 30^o = 120^o.

По теореме косинусов из треугольника AOC находим, что

AC = $\displaystyle \sqrt{OA^{2}+OC^{2} - 2OA\cdot OC \cdot \cos 120^{\circ}}$ = $\displaystyle \sqrt{16+36 + 2\cdot 4\cdot 6 \cdot \frac{1}{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{19}$ .

Обозначим через r искомый радиус. Тогда

S_AOC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.r = r $\displaystyle \sqrt{19}$ , и S_AOC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OA^.OC^.sin 120^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4^.6^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 6 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Из уравнения r $\sqrt{19}$ = 6 $\sqrt{3}$ находим, что r = ${\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}$ .

Ответ

${\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3998