Задача 108515

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри данного равностороннего треугольника до его сторон всегда одна и та же.

Подсказка

Соедините точку внутри треугольника с его вершинами и сложите площади полученных треугольников.

Решение

Первый способ.

Пусть M — точка внутри равностороннего треугольника ABC со сторонами AB = AC = BC = a. Обозначим через h высоту треугольника ABC, через h₁, h₂, h₃ — высоты треугольников MBC, MAC и MAB, опущенные из вершины M. Тогда

S_ABC = S_MCB + S_MAB + S_MAC =

= ah₁ + ah₂ + ah₃ =

= a(h₁ + h₂ + h₃) = ah.

Следовательно, h₁ + h₂ + h₃ = h, для любой точки, расположенной внутри треугольника ABC.

Второй способ.

.

Проведём через точку внутри данного треугольника прямые, параллельные сторонам треугольника. Получим шесть фигур, три из которых — равносторонние треугольники. Сумма их высот равна высоте данного треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4024