Информация о задаче

Задача 108522

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь прямоугольного треугольника ABC ( $\angle$ C = 90^o) равна 6, радиус описанной около него окружности равен ${\frac{5}{2}}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Подсказка

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен ${\frac{a+b-c}{2}}$ .

Решение

Известно, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен ${\frac{a+b-c}{2}}$ , а площадь равна ${\frac{ab}{2}}$ .

Поскольку центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы, то c = 5. По теореме Пифагора a² + b² = 25. Поэтому

(a + b)² = a² + b² + 2ab = 25 + 4^.6 = 49, a + b = 7.

Следовательно,

r = $\displaystyle {\frac{a+b-c}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{7-5}{2}}$ = 1.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4106