Информация о задаче

Задача 108526

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два круга, расстояние между центрами которых равно $\sqrt{3}$ + 1, имеют радиусы $\sqrt{2}$ и 2. Найдите отношение площади круга, вписанного в общую часть данных кругов, к площади общей части.

Подсказка

Общая часть данных кругов состоит из двух сегментов. Известно, что площадь S сегмента круга радиуса R с центральным углом $\varphi$ радиан можно вычислить по формуле

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R²( $\displaystyle \varphi$ - sin $\displaystyle \varphi$ ).

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей радиусов r₁ = $\sqrt{2}$ и r₂ = 2 соответственно, d = $\sqrt{3}$ + 1 — расстояние между центрами этих окружностей. Поскольку r₁ + r₂ = 2 + $\sqrt{2}$ > 1 + $\sqrt{3}$ = d, то окружности пересекаются, а т.к. r₂ = 2 < $\sqrt{3}$ + 1 = d, то центр O₁ первой окружности лежит вне окружности с центром O₂.

Пусть A и B — точки пересечения окружностей, C и D точки пересечения с отрезком O₁O₂ первой и второй окружностей соответственно. Тогда

d = O₁O₂ = O₁C + O₂D - CD = r₁ + r₂ - CD.

Отсюда находим, что

CD = r₁ + r₂ - d = $\displaystyle \sqrt{2}$ + 2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1 = $\displaystyle \sqrt{2}$ + 1 - $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Если r — радиус окружности, вписанной в общую часть данных кругов, а s её площадь, то

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CD = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2}}$ , s = $\displaystyle \pi$ r² = $\displaystyle {\frac{\pi(3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{2}}$ .

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R²( $\displaystyle \varphi$ - sin $\displaystyle \varphi$ ).

Обозначим $\angle$ AO₁O₂ = $\alpha$ , $\angle$ AO₂O₁ = $\beta$ . Из треугольника AO₁O₂ по теореме косинусов находим, что

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{r_{2}^{2}+d^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}d}}$ = $\displaystyle {\frac{2+4+2\sqrt{3}-4}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}}}$ ,

cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}^{2}+d^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}d}}$ = $\displaystyle {\frac{4+4+2\sqrt{3}-2}{4(\sqrt{3}+1)}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Значит, $\alpha$ = ${\frac{\pi}{4}}$ , $\beta$ = ${\frac{\pi}{6}}$ .

Пусть S₀ — площадь общей части данных кругов. Тогда

S₀ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ r₁²(2 $\displaystyle \alpha$ - sin 2 $\displaystyle \alpha$ ) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ r₂²(2 $\displaystyle \beta$ - sin 2 $\displaystyle \beta$ ) =

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^. $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{2}-1}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - 1 $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{2}-1}\right)$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4^. $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ 2 $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}{6}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{s}{S_{0}}}$ = $\displaystyle {\frac{3\pi (3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}}$ .

Ответ

${\frac{3\pi (3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4110