ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108526
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два круга, расстояние между центрами которых равно $ \sqrt{3}$ + 1, имеют радиусы $ \sqrt{2}$ и 2. Найдите отношение площади круга, вписанного в общую часть данных кругов, к площади общей части.


Подсказка

Общая часть данных кругов состоит из двух сегментов. Известно, что площадь S сегмента круга радиуса R с центральным углом $ \varphi$ радиан можно вычислить по формуле

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$R2($\displaystyle \varphi$ - sin$\displaystyle \varphi$).


Решение

Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей радиусов r1 = $ \sqrt{2}$ и r2 = 2 соответственно, d = $ \sqrt{3}$ + 1 — расстояние между центрами этих окружностей. Поскольку r1 + r2 = 2 + $ \sqrt{2}$ > 1 + $ \sqrt{3}$ = d, то окружности пересекаются, а т.к. r2 = 2 < $ \sqrt{3}$ + 1 = d, то центр O1 первой окружности лежит вне окружности с центром O2.

Пусть A и B — точки пересечения окружностей, C и D точки пересечения с отрезком O1O2 первой и второй окружностей соответственно. Тогда

d = O1O2 = O1C + O2D - CD = r1 + r2 - CD.

Отсюда находим, что

CD = r1 + r2 - d = $\displaystyle \sqrt{2}$ + 2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1 = $\displaystyle \sqrt{2}$ + 1 - $\displaystyle \sqrt{3}$.

Если r — радиус окружности, вписанной в общую часть данных кругов, а s её площадь, то

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . CD = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2}}$s = $\displaystyle \pi$r2 = $\displaystyle {\frac{\pi(3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{2}}$.

Общая часть данных кругов состоит из двух сегментов. Известно, что площадь S сегмента круга радиуса R с центральным углом $ \varphi$ радиан можно вычислить по формуле

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$R2($\displaystyle \varphi$ - sin$\displaystyle \varphi$).

Обозначим $ \angle$AO1O2 = $ \alpha$, $ \angle$AO2O1 = $ \beta$. Из треугольника AO1O2 по теореме косинусов находим, что

cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{r_{2}^{2}+d^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}d}}$ = $\displaystyle {\frac{2+4+2\sqrt{3}-4}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}}}$,

cos$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}^{2}+d^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}d}}$ = $\displaystyle {\frac{4+4+2\sqrt{3}-2}{4(\sqrt{3}+1)}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Значит, $ \alpha$ = $ {\frac{\pi}{4}}$, $ \beta$ = $ {\frac{\pi}{6}}$.

Пусть S0 — площадь общей части данных кругов. Тогда

S0 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$r12(2$\displaystyle \alpha$ - sin 2$\displaystyle \alpha$) + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$r22(2$\displaystyle \beta$ - sin 2$\displaystyle \beta$) =

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2 . $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{2}-1}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$ - 1$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{2}-1}\right)$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 4 . $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$2$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}{2}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}{6}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{s}{S_{0}}}$ = $\displaystyle {\frac{3\pi (3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}}$.


Ответ

$ {\frac{3\pi (3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4110

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .