ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108528
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Длины трёх сторон четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 2$ \sqrt{2}$, одинаковы и равны 2. Найдите четвёртую сторону.


Подсказка

Докажите, что данный четырёхугольник — равнобокая трапеция. Далее примените теорему синусов.


Решение

Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 2$ \sqrt{2}$, причём AB = BC = CD = 2. Обозначим $ \angle$CAD = $ \alpha$. Поскольку равные хорды стягивают равные дуги, а вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, то $ \angle$ACB = $ \angle$CAD. Поэтому BC$ \Vert$AD. Следовательно, ABCD — равнобокая трапеция.

Из теоремы синусов следует, что

sin$\displaystyle \alpha$ = sin$\displaystyle \angle$CAD = $\displaystyle {\frac{CD}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{4\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{2}}}$.

Поскольку $ \angle$BAC = $ \angle$CAD = $ \alpha$, то $ \angle$BAD = 2$ \alpha$

Пусть P — проекция точки B на большее основание AD трапеции ABCD. Из прямоугольного треугольника ABP находим, что

AP = AB cos 2$\displaystyle \alpha$ = 2(1 - 2 sin2$\displaystyle \alpha$) = 2$\displaystyle \left(\vphantom{1 -2\cdot \frac{1}{8}}\right.$1 - 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1 -2\cdot \frac{1}{8}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$.

По свойству равнобокой трапеции AP = $ {\frac{AD-BC}{2}}$. Отсюда находим, что

AD = 2AP + BC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ + 2 = 3 + 2 = 5.


Ответ

5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4112

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .