ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108530
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность C1 радиуса 2$ \sqrt{3}$ с центром O1 и окружность C2 радиуса $ \sqrt{3}$ с центром O2 расположены так, что O1O2 = 2$ \sqrt{13}$. Прямая l1 касается окружностей в точках A1 и A2, а прямая l2— в точках B1 и B2. Окружности C1 и C2 лежат по одну сторону от прямой l1 и по разные стороны от прямой l2, A1 $ \in$ C1, B1 $ \in$ C1, A2 $ \in$ C2, B2 $ \in$ C2, точки A1 и B1 лежат по разные стороны от прямой O1O2. Через точку B1 проведена прямая l3, перпендикулярная прямой l2. Прямая l1 пересекает прямую l2 в точке A, а прямую l3 — в точке B. Найдите A1A2, B1B2 и стороны треугольника ABB1.


Подсказка

Для вычисления A1A2 (B1B2) опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус O1A1 (на продолжение радиуса O1B1 большей). Обозначьте  AA2 = AB2 = x.  Найдите x из равенства  AA1 = AB1  (теорема о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки).


Решение

Прямая l3 препендикулярна прямой l2 и проходит через точку B1 касания прямой l2 с большей окружностью. Поэтому прямая l3 проходит через центр O1 большей окружности.

Опустим перпендикуляр O2F из центра меньшей окружности на радиус O1A1 большей. Тогда

O1F = O1A1 - FA1 = O1A1 - O2A2 = 2$\displaystyle \sqrt{3}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника O1O2F находим, что

O2F = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}F^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{52-3}$ = $\displaystyle \sqrt{49}$ = 7.

Следовательно, A1A2 = O2F = 7.

Опустим перпендикуляр O2E из центра меньшей окружности на продолжение радиуса O1B1 большей. Тогда

O1E = O1B1 + B1E = O1B1 + O2B2 = 2$\displaystyle \sqrt{3}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ = 3$\displaystyle \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника O1O2E находим, что

O2E = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}E^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-(3\sqrt{3})^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{52-27}$ = $\displaystyle \sqrt{25}$ = 5.

Следовательно, B1B2 = O2E = 5.

Обозначим AA2 = AB2 = x. Тогда

AA1 = A2A1 - AA2 = 7 - xAB1 = AB2 + B2B1 = x + 5,

а т.к. AA1 = AB1 (теорема о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки), то 7 - x = x + 5. Отсюда находим, что x = 1.

Следовательно, AB1 = x + 5 = 1 + 5 = 6.

Из прямоугольного треугольника AA2O2 находим, что

tg$\displaystyle \angle$A2AO2 = $\displaystyle {\frac{O_{2}A_{2}}{AA_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{1}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$.

Поэтому $ \angle$A2AO2 = 60o. Поэтому

$\displaystyle \angle$BAB1 = 180o = 2$\displaystyle \angle$A2AO2 = 180o - 120o = 60o.

Из прямоугольного треугольника ABB1 находим, что

BB1 = AB1 . tg$\displaystyle \angle$BAB1 = 6$\displaystyle \sqrt{3}$AB = 2 . AB1 = 12.


Ответ

A1A2 = 7, B1B2 = 5, AB1 = 6, BB1 = 6$ \sqrt{3}$, AB = 12.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4114

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .