Задача 108535

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что любая прямая, не параллельная оси ординат, имеет уравнение вида y = kx + l. Число k называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x.

Решение

Пусть прямая задана уравнением ax + by + c = 0. Если b 0, то это уравнение можно записать в виде: y = - x - . Обозначим - = k, - = l. Получим уравнение y = kx + l.

Если координаты двух различных точек прямой равны, то прямая параллельна оси OX. В этом случае k = 0 = tg0.

Пусть A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) — две различные точки этой прямой, причём x₁ < x₂. Подставив координаты этих точек в это уравнение, получим верные числовые равенства

y₁ = kx₁ + l и y₂ = kx₂ + l,

из которых следует, что y₂ - y₁ = k(x₂ - x₁). Отсюда находим, что

k = .

Пусть — угол между данной прямой и осью OX. Если y₂ > y₁, то

k = = tg.

Если y₂ < y₁, то

k = = - tg.

Докажем теперь, что график любой линейной функции y = px + q есть прямая. Действительно, точки M(0;q) и N(1;p + q) принадлежат графику этой функции. Составим уравнение прямой, проходящей через точки M и N, в виде y = kx + l. Для этого подставим координаты этих точек в последнее уравнение. Получим верные числовые равенства

q = k ^. 0 + l, и p + q = k ^. 1 + l.

Отсюда находим, что l = q и k = p. Таким образом наша прямая имеет уравнение y = px + q. Следовательно, уравнению прямой удовлетворяют все точки графика линейной функции, т.е. графиком линейной функции является прямая.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4204