Информация о задаче

Задача 108537

Тема:

[

Метод координат на плоскости

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение прямой, проходящей через точки M₀(x₀;y₀) и M₁(x₁;y₁) ( x₁ $\ne$ x₀, y₁ $\ne$ y₀), имеет вид

$\displaystyle {\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}$ = $\displaystyle {\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Подсказка

Подставьте координаты точки M₁(x₁;y₁) в уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M₀(x₀;y₀), и найдите k.

Решение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M₀(x₀;y₀), имеет вид y - y₀ = k(x - x₀). Если прямой принадлежит точка M₁(x₁;y₁), то координаты точки M₁ удовлетворяют этому уравнению, т.е. y₁ - y₀ = k(x₁ - x₀) — верное числовое равенство. Поскольку x₁ $\ne$ x₀, то k = ${\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x{0}}}$ . Значит, уравнение нашей прямой можно записать в виде

y - y₀ = $\displaystyle {\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ (x - x₀),

а т.к. y₁ $\ne$ y₀, то разделив обе части последнего уравнения на y₁ - y₀, получим уравнение

$\displaystyle {\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}$ = $\displaystyle {\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4206