Задача 108546

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника.

Решение

  Пусть  A(x₁, y₁),  B(x₂, y₂)  и  C(x₃, y₃) – вершины треугольника,  M(x₀, y₀)  – точка пересечения его медиан.

  Первый способ. Известно, что для любой точки O верно равенство   .
  Пусть O(0, 0) – начало координат. Тогда координаты векторов     есть координаты точек A, B, C и M соответственно. Следовательно, указанное выше векторное равенство равносильно двум числовым равенствам:    x₀ = ⅓ (x₁ + x₂ + x₃),  y₀ = ⅓ (y₁ + y₂ + y₃).

  Второй способ. Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины. Поэтому, если     (см. задачу 108531) – середина отрезка BC, то  AM : MD = 2 : 1.
  Поскольку точка  M(x₀, y₀)  делит отрезок с концами в точках  A(x₁, y₁)  и  D(x₄, y₄)  в отношении  2 : 1,  считая от точки A, то по теореме о пропорциональных отрезках проекция точки M на ось OX делит проекцию отрезка AD на эту ось в том же отношении, то есть   = 2.  Отсюда  
  Аналогично  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4237