Информация о задаче

Задача 108547

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(5;5), B(8; - 3) и C(- 4;1). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.

Решение

Первый способ.

Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому, если D(x₁;y₁) — середина отрезка BC, то AM : MD = 2 : 1. Известно также, что координаты середины отрезка есть средние арифметические соответствующих координат его концов. Значит,

x₁ = $\displaystyle {\frac{8-4}{2}}$ = 2, y₁ = $\displaystyle {\frac{-3+1}{2}}$ = - 1.

Поскольку точка M(x₀;y₀) делит отрезок AD в отношении 2:1, считая от точки A, то по теореме о пропорциональных отрезках проекция точки M на ось OX делит проекцию отрезка AD на эту ось в том же отношении, т.е.

$\displaystyle {\frac{x_{0}-5}{2-x_{0}}}$ = 2.

Отсюда находим, что x₀ = 3. Аналогично находим, что y₀ = 1.

Второй способ.

Пусть M(x₀;y₀) — точка пересечения медиан треугольника ABC. Поскольку координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника, то

x₀ = $\displaystyle {\frac{5+8-4}{3}}$ = 3, y₀ = $\displaystyle {\frac{5-3+1}{3}}$ = 1.

Ответ

(3;1).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4238