ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108548
Темы:    [ Метод координат на плоскости ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(- 6; - 1), B(1;2) и C(- 3; - 2). Найдите координаты вершины M параллелограмма ABMC.


Решение

Первый способ.

Координаты середины K(x0;y0) диагонали BC параллелограмма ABMC есть средние арифметические соответствующих координат концов отрезка BC, т.е.

x0 = $\displaystyle {\frac{1-3}{2}}$ = - 1, y0 = $\displaystyle {\frac{2-2}{2}}$ = 0.

Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то K(x0;y0) — середина отрезка с концами в точках A(- 6; - 1) и M(x1;y1). Поэтому

x0 = $\displaystyle {\frac{-6+x_{1}}{2}}$ = - 1, y0 = $\displaystyle {\frac{-1+y_{1}}{2}}$ = 0.

Отсюда находим, что x1 = 4, y1 = 1.

Второй способ.

Пусть x1, y1 — координаты точки M. Если ABMC — параллелограмм, то $ \overrightarrow{BM} $ = $ \overrightarrow{AC}$, а т.к.

$\displaystyle \overrightarrow{BM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(x_{1}-1;y_{1}-2)}$$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-3-(-6);-2-(-1)} $ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;1)}$,

то

x1 - 1 = 3, y1 - 2 = - 1.

Отсюда находим, что x1 = 4, y1 = 1.


Ответ

M(4;1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4239

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .