Задача 108552

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что прямые, заданные уравнениями y = k₁x + l₁ и y = k₂x + l₂ и не параллельные координатным осям, перпендикулярны тогда и только тогда, когда k₁k₂ = - 1.

Решение

Рассмотрим сначала случай, когда обе прямые проходят через начало координат, т.е. когда их уравнения имеют вид y = k₁x и y = k₂x. Положив x = 1, найдём ординаты точек M₁(1;y₁) и M₂(1;y₂), лежащих на этих прямых:

y₁ = k₁ и y₂ = k₂.

Данные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы = и = , т.е. когда

^. = 1 ^. 1 + k₁ ^. k₂ = 0.

Следовательно, равенство k₁k₂ = - 1 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых y = k₁x и y = k₂x.

Поскольку угол между прямыми y = k₁x + l₁ и y = k₂x + l₂ равен углу между прямыми y = k₁x и y = k₂x, то доказанное утверждение верно и для исходных прямых.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4243