Информация о задаче

Задача 108558

Тема:

[

Метод координат на плоскости

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что расстояние от точки M(x₀;y₀) до прямой, заданной уравнением ax + by + c = 0, равно

$\displaystyle {\frac{\vert ax_{0}+ by_{0}+ c\vert}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$ .

Подсказка

Выразите через a, b и c координаты точки пересечения данной прямой с прямой, проходящей через точку M перпендикулярно данной прямой.

Решение

Пусть данная прямая не параллельна координатным осям. Запишем её уравнение в виде y = - ${\frac{a}{b}}$ x - ${\frac{c}{b}}$ . Тогда её угловой коэффициент k₁ = - ${\frac{a}{b}}$ . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной, то k₁^.k₂ = - 1. Поэтому

k₂ = - $\displaystyle {\frac{1}{k_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ .

Уравнение прямой l, проходящей через точку M(x₀;y₀) перпендикулярно данной прямой, найдём по точке и угловому коэффициенту k₂ = ${\frac{b}{a}}$ :

y - y₀ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ (x - x₀).

Координаты точки N(x;y) пересечения данной прямой и прямой l удовлетворяют системе уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0})\\ ax + by + c = 0\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0})\\ ax + by + c = 0\\ \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0})\\ a(x-x_{0}) + b(y-y_{0}) = -ax_{0}-by_{0}-c.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0})\\ a(x-x_{0}) + b(y-y_{0}) = -ax_{0}-by_{0}-c.\\ \end{array}$

Отсюда находим, что

x - x₀ = - $\displaystyle {\frac{b}{a^{2}+b^{2}}}$ (ax₀ + by₀ + c), y - y₀ = - $\displaystyle {\frac{a}{a^{2}+b^{2}}}$ (ax₀ + by₀ + c).

Следовательно,

MN = $\displaystyle \sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}(ax_{0}+ by_{0}+ c)\right)^{2}+ \left(-\frac{a}{a^{2}+b^{2}}(ax_{0}+ by_{0}+ c)\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\vert ax_{0}+ by_{0}+ c\vert}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4249