Информация о задаче

Задача 108563

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его соседних сторон на синус угла между ними, т.е.

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ ,

где a и b — стороны треугольника, $\gamma$ — угол, противолежащий третьей стороне.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим AC = b, BC = a, $\angle$ ACB = $\gamma$ . Пусть AD — высота треугольника.

Рассмотрим случай, когда точка D лежит либо между точками B и C (рис.1), либо на продолжении стороны BC за точку B (рис.2). Из прямоугольного треугольника ADC находим, что

AD = AC sin $\displaystyle \gamma$ = b sin $\displaystyle \gamma$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ .

Пусть точка D лежит на продолжении стороны BC за точку C (рис.3). Тогда

AD = AC sin $\displaystyle \angle$ ACD = AC sin(180^o - $\displaystyle \gamma$ ) = b sin $\displaystyle \gamma$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ .

Если точка D совпадает с точкой C или D, то доказательство очевидно.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4254