Информация о задаче

Задача 108567

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна удвоенному квадрату радиуса окружности, описанной около треугольника, умноженному на произведение синусов углов треугольника, т.е.

S = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ ,

где $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы треугольника, а R — радиус его описанной окружности.

Решение

Пусть a, b, c — стороны треугольника, противолежащие его углам $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ соответственно, R — радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда

a = 2R sin $\displaystyle \alpha$ , b = 2R sin $\displaystyle \beta$ .

Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin $\displaystyle \alpha$ ^.2R sin $\displaystyle \beta$ ^.sin $\displaystyle \gamma$ = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4258