Задача 108586

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин B и C до этой прямой равны b и c соответственно. Найдите расстояние от вершины A до этой прямой.

Подсказка

Рассмотрите проекции точек B, A, C и середины стороны BC на данную прямую.

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC ; K – середина стороны BC ; E , P , Q и F – проекции точек соответственно B , A , K и C на данную прямую. Поскольку AK – медиана треугольника ABC , а M – точка пересечения медиан этого треугольника, то AM:MK = 2:1 . KQ – средняя линия прямоугольной трапеции BEFC (или прямоугольника, если b=c ). Поэтому

KQ = = .
Из подобия прямоугольных треугольников KQM и APM следует, что
AP = KQ· = · 2= b+c.

Ответ

b+c .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4262