Задача 108594

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки M до вершин треугольника минимальна, если M – точка пересечения медиан треугольника.

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан AA1 , BB1 и CC1 треугольника ABC , X – произвольная точка. Тогда

XA2+XB2+XC2 = 2+2+2=

=2+ 2· · + 2+ 2+ 2· · + 2+ 2+ 2· · + 2=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2+2· · (++)=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2+2· · (-· -· -· )=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2-· 2· · (++)=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2-· · = 3· XM2+MA2+MB2+MC2 MA2+MB2+MC2,
причём равенство достигается, если точка X совпадает с точкой M пересечения медиан треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4270