Задача 108606

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Решение

Трижды отразим прямоугольник ABCD с вписанным в него четырёхугольником KLMN (см. рис.).

Легко видеть, что периметр четырёхугольника равен длине ломаной KLM₁N₁, которая не меньше длины отрезка KN₁. Этот отрезок равен отрезку AA₁, который вдвое больше диагонали AC.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	6
Дата	1984/1985
вариант
Вариант	осенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	4
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4292