ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108608
Тема:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что  BO = CO.
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.


Решение

Поскольку треугольник BOC равнобедренный, то его медиана OD является высотой, поэтому AD – высота (и медиана) треугольника ABC. Значит,
AB = AC,  а O – точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда и биссектриса CF является его высотой. Поэтому и  AC = BC.

Замечания

1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 6 кл., зад. 2).

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4294
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .