Задача 108617

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки P , Q , R и S – середины сторон соответственно AB , BC , CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD , M – точка внутри этого четырёхугольника, причём APMS – параллелограмм. Докажите, что CRMQ – тоже параллелограмм.

Решение

Прямая SM проходит через середину стороны AD треугольника ABD параллельно стороне AB , значит, эта прямая пересекает сторону BD в её середине. Аналогично, прямая PM также проходит через середину BD . Поэтому точка M пересечения прямых SM и PM – середина диагонали BD черырёхугольника ABCD . Тогда RM и QM – средние линии треугольника BCD . Значит, RM || BC и QM || CD . Следовательно, CRMQ – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4433