Задача 108622

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

AL – биссектриса треугольника ABC , K – точка на стороне AC , причём CK=CL . Прямая LK и биссектриса угла B пересекаются в точке P . Докажите, что AP=PL .

Решение

Пусть углы треугольника ABC равны 2α , 2β , 2γ соответственно. Тогда α +β+γ = 90^o . Из равнобедренного треугольника KCL находим, что

CLK = 90^o - γ.
По теореме о внешнем угле треугольника
ALC = BAL + ABL = α + 2β.
Поэтому
ALP = ALC - CLK = (α+2β) - (90^o-γ)= (α + β + γ - 90^o) + β = β.
Таким образом, из точек L и B , лежащих по одну сторону от прямой AP , отрезок AP виден под одним и тем же углом β , значит, точки L , B , A и P лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность равные углы ABP и LBP опираются на равные хорды, следовательно, AP=PL .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4438