Задача 108623

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

На сторонах AB, BC, CD и DA произвольного четырёхугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно. Обозначим через S₁, S₂, S₃ и S₄ площади треугольников AKN, BKL, CLM и DMN соответственно. Докажите, что  

Решение

Обозначим     Тогда после деления на     доказываемое неравенство запишется в следующем виде:       Но согласно неравенству Коши    ≤

≤ ⅓ (t₁ + (1 – t₄) + s₂ + t₂ + (1 – t₁) + (1 – s₁) + t₃ + (1 – t₂) + (1 – s₂) + t₄ + (1 – t₃) + s₁) = ⁶/₃ = 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4439