Задача 108625

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороне AC равностороннего треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне AB – точка E, причём  AE = CD;  M – середина отрезка DE.
Докажите, что  AM = ½ BD.

Решение

Через точку D проведём прямую, параллельную AB. Пусть эта прямая пересекает сторону BC в точке K. Тогда треугольник DKC – равносторонний, поэтому  DK = DC = AE.  Значит, AEKD – параллелограмм. Середина M диагонали ED – центр параллелограмма. Из равенства треугольников BDC и AKC (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство отрезков AK и BD. Поэтому  AM = ½ AK = ½ BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4441