Задача 108629

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и AE , пересекающиеся в точке P . Докажите, что AB2 = AP· AE + BP· BD .

Решение

Задача сводится к доказательству равенства

· + · = 1.
Обозначим BAE = α , ABD = β . Из прямоугольных треугольников ABE и ABD находим, что
= cos α, = cos β.
По теореме синусов
= , = .
Следовательно,
· + · = + =

== = 1,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4445