Задача 108634

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

BD – биссектриса треугольника ABC. Точка E выбрана так, что  ∠EAB = ∠ACB,  AE = DC,  и при этом отрезок ED пересекается с отрезком AB в точке K. Докажите, что  KE = KD.

Подсказка

Опустите перпендикуляры из точек D и E на AB и из точки D на BC.

Решение

Пусть X и Y – проекции на прямую AB точек E и D соответственно, а Z – проекция точки D на прямую BC. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон, поэтому  DY = DZ.  С другой стороны, из равенства прямоугольных треугольников AXE и CZD (по гипотенузе и острому углу) следует, что  DZ = EX.  Значит,  DY = EX.  Поэтому прямоугольные треугольники KDY и KEX равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно,  KE = KD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4450