|
|
 |
Условие
Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка O, причём ∠OAD = ∠OCD. Докажите, что ∠OBC = ∠ODC.
Решение
Первый способ. Пусть при параллельном переносе на вектор точка O перешла в точку E (рис. слева). Тогда AOED – параллелограмм, поэтому ∠OED = ∠OAD = ∠OCD.
Значит, точки C, E, O и D лежат на одной окружности. Вписанные углы ODC и OEC равны, а так как BOEC – параллелограмм, то ∠OEC = ∠OBC. Следовательно, ∠OBC = ∠ODC.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку O параллельно сторонам AD и BC, пересекает стороны AB и CD соответственно в точках K и M (рис. справа), а прямая, проведённая через точку O параллельно сторонам AB и CD, пересекает стороны BC и AD соответственно в точках L и N. Тогда ∠CMO = ∠CDA = ∠ONA, значит, треугольники OAN и OCM подобны по двум углам. Поэтому AN : CM = ON : OM. Поскольку ∠OLB = ∠OND и при этом BL : LO = AN : CM = ON : OM = DM : OM, то треугольники OBL и ODM подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
∠LBO = ∠ODM, что и требовалось.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4453 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 15 |
| Название | Параллельный перенос |
| Тема | Параллельный перенос |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Перенос помогает решить задачу |
| Тема | Перенос помогает решить задачу |
| задача | |
| Номер | 15.003B |
