|
|
 |
Условие
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и L соответственно, причём ∠KCB = ∠ LAB = α. Из точки B опущены перпендикуляры BD и BE на прямые AL и CK соответственно. Точка F – середина стороны AC. Найдите углы треугольника DEF.
Решение
Пусть M и N – середины сторон AB и BC соответственно. Обозначим ∠B = β. Тогда
∠AMF = ∠CNF = β.
Поскольку EN и DM – медианы прямоугольных треугольников CBE и ADB, проведённые из вершин прямых углов, то
EN = ½ BC = NC = MF,
DM = ½ AB = AM = NF.
Кроме того, по теореме о внешнем угле треугольника ∠BNE = 2α = ∠BMD, значит, ∠ENF = 180° – ∠BNE – CNF = 180° – 2α – β,
∠DMF = 180° – ∠BMD – AMF = 180° – 2α – β.
Поэтому треугольники ENF и DMF равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EF = DF. Поскольку ∠MFD = ∠FEN и
∠NFE = ∠MDF (из равенства треугольников ENF и DMF), то ∠MFD + ∠NFE = ∠MFD + ∠MDF = 180° – ∠DMF = 2α + β.
С другой стороны, ∠MFD + ∠NFE = ∠MFN + ∠DFE = β + ∠DFE. Из равенства
2α + β = β + ∠DFE находим, что ∠DFE = 2α. Поэтому
∠DEF = ∠EDF = 90° – α.
Ответ
2α, 90° – α, 90° – α.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4454 |
