Задача 108646
|
|
 |
Условие
M – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. На основании BC выбрана такая точка P, что ∠APM = ∠DPM.
Докажите, что расстояние от точки C до прямой AP равно расстоянию от точки B до прямой DP.
Решение
Будем обозначать расстояние от точки X до прямой l через d(X, l). Заметим, что d(C, AP) = d(M, AP)·AC/AM , d(B, DP) = d(M, DP)·DB/DM.
Но d(M, AP) = d(M, DP), так как PM – биссектриса угла APD. С другой стороны, из подобия треугольников BMC и DMA следует, что AM : MC = DM : MB. Значит, AC : AM = DB : DM. Отсюда следует утверждение задачи.
