Задача 108648

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

M – середина стороны BC треугольника ABC , r1 и r2 – радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и ACM . Докажите, что r1 < 2r2 .

Решение

Предположим, что r1 2r2 . Поскольку

r1 = , r2 =
и S_{Δ AMB} = S_{Δ AMC} , это неравенство можно записать в виде
AC+CM+MA 2(AB+BM+MA).
Тогда
AC 2AB + AM +MC > AM+MC,
что противоречит неравенству треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4464