Задача 108651

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

BD – биссектриса треугольника ABC. Описанная окружность треугольника BDC пересекает отрезок AB в точке E, описанная окружность треугольника ABD пересекает отрезок BC в точке F. Докажите, что  AE = CF.

Подсказка

Равные вписанные углы опираются на равные хорды.

Решение

  Поскольку BD – биссектриса вписанного в окружность угла ABF, то  AD = DF.  Аналогично  ED = DC.  Четырёхугольник BCDE – вписанный, поэтому  ∠ADE = ∠B.  Аналогично  ∠CDF = ∠B.  Значит, треугольники ADE и FDC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  AE = CF.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4467