Задача 108652

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Точка Торричелли ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол при вершине A равен 60°. Внутри треугольника взята такая точка O, что  ∠AOB = ∠AOC = 120°.  Точки D и E – середины сторон AB и AC. Докажите, что четырёхугольник ADOE – вписанный.

Решение

  Обозначим  ∠OBA = α.  Тогда  ∠ BAO = 180° – ∠AOB – ∠ABO = 60° – α.   Значит,  ∠OAC = ∠BAC – ∠BAO = α.
  Поэтому треугольники AOB и COA подобны по двум углам, откуда  BD : AE = AB : AC = BO : AO.  Значит, треугольники OBD и OAE подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠OEA = ∠ODB = 180° – ∠ODA,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4468