Задача 108654

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD диагональ AC равна сумме оснований AB и CD . Точка M – середина стороны BC . Точка B' симметрична точке B относительно прямой AM . Докажите, что ABD = CB'D .

Решение

Пусть O – точка пересечения диагоналей трапециии. Докажем, что AO=AB и CO=CD . Действительно, если AO> AB , то в треугольнике AOB против большей стороны AO лежит больший угол, т.е. ABO > AOB . Тогда CDO > COD . Поэтому CO>CD . Значит, AC = AO +CO > AB + CD , что противоречит условию задачи. Аналогично для случая AO. Поскольку AM – серединный перпендикуляр к отрезку BB' , а M – середина BC , то прямая AM содержит среднюю линию треугольника BB'C , поэтому B'C || AM и BB'C = 90^o . Заметим, что точки B , O и B' лежат на окружности с центром A ( AB'=AB=AO ). Обозначим BAO = α . Из равнобедренного треугольника COD находим, что

ODC = 90^o - OCD = 90^o-.
С другой стороны,
OB'C = BB'C - OB'B = 90^o - OAB = 90^o-
(т.к. вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального). Из точек B' и D отрезок CO виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник COB'D – вписанный. Следовательно,
CB'D = COD = AOB = ABD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4480