Задача 108656

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В окружности проведены две параллельные хорды AB и CD. Прямая, проведённая через точку C и середину AB, вторично пересекает окружность в точке E. Точка K – середина отрезка DE. Докажите, что  ∠AKE = ∠BKE.

Решение

Поскольку  ∠BDE = ∠BCE  как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а  ∠BED = ∠ABC  как углы, опирающиеся на равные дуги, то треугольники BDE и MCB подобны по двум углам. Пусть X – середина BC, тогда BK и MX – соответствующие медианы подобных треугольников. Значит,
∠BKE = ∠MXB = ∠ACB  (MX || AC  как средняя линия треугольника ABC). Аналогично  ∠AKE = ∠ADB,  а так как  ∠ADB = ∠ACB,  то  ∠AKE = ∠BKE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4482