Задача 108662

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Угол при вершине B треугольника ABC равен 60^o ; AA1 и CC1 – высоты треугольника. На прямой, проходящей через вершину B перпендикулярно A1C1 , выбрана точка M , отличная B , причём AMC=60^o . Докажите, что AMB=30^o .

Решение

Пусть A' – точка, симметричная точке A относительно прямой BC . Тогда BA'=AB , CA'=CA и точка A' лежит на продолжении высоты AA1 . Пусть прямые BM и A'C пересекаются в точке N . Обозначим ABM = ϕ . Тогда

BC1A1 = 90^o - ϕ, BCA = BC1A1 = 90^o - ϕ,

AA'N = AA'C = CAA' = 90^o - (90^o - ϕ) =ϕ.
Отрезок AN виден из точек B и A' под одним и тем же углом ϕ . Значит, точки B , A' , A и N лежат на одной окружности. Тогда из вписанного четырхугольника ABA'N находим, что
ANC = 180^o - ABA' = 180^o -120^o= 60^o = AMC.
Поэтому точка N совпадает с точкой M . Следовательно,
AMB = A'MB = 30^o
(вписанные углы AMB и A'MB опираются на равные хорды).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4488