Задача 108671

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На отрезке AC как на основании в разных полуплоскостях построены равнобедренные треугольники ABC и ADC , причём ADC = 3 ACB . AE – биссектриса треугольника ABC , отрезки DE и AC пересекаются в точке F . Докажите, что треугольник CEF – равнобедренный.

Решение

Положим ACB = CAB = 2α . Тогда

ADC = 6α, CAE = α, AEC = 180^o- CAE - ACE = 180^o - 3α.
Заметим, что α < 30^o , т.к. ADC = 6α < 180^o . Пусть O – центр описанной окружности треугольника AEC . Угол AEC – тупой, поскольку
AEC = 180^o-3α > 180^o - 3· 30^o = 90^o.
Значит, точки O и E лежат по разные стороны от прямой AC . Тогда
AOC = 360^o- 2 AEC = 360^o - 2(180^o-3α)= 6α.
Поскольку AOC – равнобедренный треугольник с основанием AC и углом 6α при вершине, он совпадает с треугольником ADC . Таким образом, D – центр описанной окружности треугольника AEC . В частности, DE=DC . Значит,
DEC = DCE= ACE + DCA = 2α + (180^o - 6α) = 90^o-α,

EFC = 180^o - FCE - FEC = 180^o - 2α - (90^o-α) = 90^o-α.
Следовательно, треугольник CEF – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4497