Задача 108673

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и N соответственно. M – середина стороны AC . Известно, что BKM = BNM . Докажите, что перпендикуляры к сторонам исходного треугольника в точках K , N и M пересекаются в одной точке.

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть точка S – точка пересечения перпендикуляров, проведённых из точек M и K , T – точка пересечения перпендикуляров, проведённых из точек M и N . Четырёхугольник AMSK – вписанный, поэтому

SAM = SKM = BKM - 90^o.
Аналогично,
TCM = BNM - 90^o.
Значит, SAM = TCM . Поскольку точки S и T лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то они совпадают. Отсюда следует утверждение задачи. Для остальных случаев аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4499