Задача 108674

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC с острым углом при вершине A проведены биссектриса AE и высота BH . Известно, что AEB = 45^o . Найдите угол EHC

Решение

Пусть B' – точка, симметричная вершине B относительно прямой AE . Поскольку прямая, содержащая биссектрису угла, есть ось симметрии угла, то точка B' лежит на AC . При этом

AEB' = AEB = 45^o BEB'= 90^o.
Треугольник BEB' – равнобедренный и прямоугольный, поэтому EBB' = 45^o . Из точек E и H отрезок BB' виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BB' . Вписанные в эту окружность углы EHB' и EBB' опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
EHC= EHB' = EBB' = 45^o.

Ответ

45^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5223