Задача 108676

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Центры четырёх окружностей S1 , S2 , S3 и S4 лежат на окружности S . Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A1 и B1 , S2 и S3 – в точках A2 и B2 , S3 и S4 – в точках A3 и B3 , окружности S4 и S1 – в точках A4 и B4 , причём точки A1 , A2 , A3 и A4 лежат на окружности S , а точки B1 , B2 , B3 и B4 различны и лежат внутри S . Докажите, что B1B2B3B4 – прямоугольник.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 и O4 – центры окружностей S1 , S2 , S3 и S4 соответственно. Покажем, что точка B1 лежит на прямой O1A2 . Треугольники B1O1O2 и A1O1O2 равны по трём сторонам, поэтому B1O1O2 = A1O1O2 . С другой стороны, A2O1O2 = A1O1O2 как вписанные в окружность S углы, опирающиеся на равные дуги O2A1 и O2A2 . Значит, B1O1O2 = A2O1O2 . Следовательно, точка B1 лежит на прямой O1A2 . Аналогично, B4 лежит на прямой O1A3 , B2 – на прямой O2A3 , B1 – на прямой O2A4 . Докажем, что B4B1B2 = 90^o . Действительно,

B4B1B2 = 360^o - B4B1O1 - O1B1O2- O2B1B2=

=360^o - (180^o- B1O1B4) - O1A1O2 -(180^o- B1O2B2)=

=180^o+( B1O1B4+ B1O2B2)- O1A1O2.
В то же время
B1O1B4+ B1O2B2 = A3O1O2- B1O1O2 + A3O2O1- B1O2O1 =

=180^o - O1A3O2 - (180^o- O1B1O2)=

= O1A1O2 -(180^o - O1A1O2)= 2 O1A1O2 - 180^o.
Поэтому
B4B1B2 = 180^o+(2 O1A1O2 - 180^o)- O1A1O2 = 90^o.
Аналогично докажем, что и другие углы четырёхугольника B1B2B3B4 прямые.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6201