Задача 108693

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

Решение

  Заметим, что медиана пятиугольника перпендикулярна противолежащей стороне тогда и только тогда, когда диагонали, проведённые из этой вершины, равны. Поэтому, если медианы, проведённые из вершин A, B, C и D перпендикулярны противолежащим сторонам, то  AC = AD,  BE = BD,  CA = CE,
DB = DA.
  Значит,  CE = BE.  Следовательно, медиана, проведённая из вершины E, также перпендикулярна противолежащей стороне.

Замечания

Ср. с задачей 98537.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6229