Задача 108696

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AB , BC и AC соответственно точки K , L и M , причём BLK = CLM = BAC . Отрезки BM и CK пересекаются в точке P . Докажите, что четырёхугольник AKPM – вписанный.

Решение

Поскольку

CLK = 180^o- BLK = BAC,
четырёхугольник AKLC – вписанный. Аналогично, четырёхугольник AMLB – также вписанный. Вписанные углы CKL и CAL окружности, описанной около четырёхугольника AKLC , опираются на одну и ту же дугу, поэтому CKL = CAL . Вписанные углы MBL и MAL окружности, описанной около четырёхугольника AMLB , также опираются на одну и ту же дугу, поэтому MBL = MAL = CAL . Тогда отрезок PL виден из точек B и K , лежащих по одну сторону от прямой PL , под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник BKPL – также вписанный. Поэтому
BPK = BLK = BAC = KAM.
Следовательно, четырёхугольник AKPM – вписанный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6232