Задача 108701

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точки K и L лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём  KB = LC.  Точка X симметрична точке K относительно середины стороны AC, а точка Y симметрична точке L относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла A, делит отрезок XY пополам.

Решение

  На стороне AC отложим отрезок AL₁, равный LC, а на стороне AB – отрезок AK₁, равный KB. Тогда середина M стороны AC совпадает с серединой отрезка LL₁, а середина N стороны AB – с серединой отрезка KK₁. Поскольку точки K и X симметричны относительно точки M – середины отрезка LL₁, четырёхугольник KLXL₁ – параллелограмм, поэтому  XL₁ = KL  и  XL₁ || KL.  Аналогично  YK₁ = KL  и  YK₁ || KL.  Таким образом,  XL₁ = YK₁  и   XL₁ || YK₁.  Значит, если точки X, L₁, K₁ и Y не лежат на одной прямой, то четырёхугольник XL₁YK₁ – также параллелограмм. Его диагонали L₁K₁ и XY делятся их точкой пересечения P пополам, а так как треугольник L₁AK₁ – равнобедренный, то его биссектриса, проведённая из вершины A, проходит через середину P отрезка XY.
  Если точки X, L₁, K₁ и Y лежат на одной прямой, утверждение очевидно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6237