|
|
 |
Условие
На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили
точки P и Q соответственно. Оказалось, что
AB=AP=BQ=1 , а точка пересечения отрезков AQ и BP
лежит на вписанной окружности треугольника ABC .
Найдите периметр треугольника ABC .
Решение
Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается
его сторон AB , BC и AC в точках S , R и T ; M –
точка пересечения отрезков AQ и BP .
Можно заметить, что точка P лежит на отрезке CT , а точка Q
– на отрезке CR . Тогда отрезки AM и BM вторично пересекают
окружность . Обозначим точки пересечения через K и L
соответственно.
Если I – центр окружности , то BI – биссектриса угла BAC .
При симметрии относительно прямой BI точка S перейдёт
в R , точка A – в Q (т.к. BQ=BA ), а окружность –
в себя. Поэтому дуги KS и MR равны. Аналогично докажем, что
равны дуги SL и MT . Поскольку BI AM и AI
BM , T –
ортоцентр треугольника ABM . Поэтому MI
AB , и MS – диаметр
окружности .
Значит, равны дуги KT и RL .
Следовательно, дуга KTMR равна 180o , а значит, KR –
диаметр окружности .
При гомотетии с центром A , переводящей окружность во вневписанную
окружность ' треугольника ABC , касательная l в точке K к окружности
перейдёт в параллельную ей касательную к окружности ' , т.е.
в прямую BC , а луч AK – в себя. Поэтому Q – точка касания окружности
' со стороной BC .
Тогда, если p – полупериметр треугольника ABC , то
Отсюда находим, что p=2 . Следовательно, периметр треугольника ABC равен 4.
Ответ
4.00
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6239 |
