ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108780
Тема:    [ Линейные зависимости векторов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды равны a . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ

.

Пусть ABCDEFP – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P , M - центр правильного шестиугольника ABCDEF , K – середина AB , S – площадь боковой поверхности пирамиды. Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a , Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Кроме того, PK AB . Значит, PK – высота равнобедренного треугольника ABP , а т.к. MK – высота равностороннего треугольника ABM со стороной a , то MK = . Из прямоугольного треугольника PKM находим, что

PK = = = .

Все 6 боковых граней правильной пирамиды ABCDEFP – равные равнобедренные треугольники, поэтому
S = 6SΔ ABP = 6· AB· PK = 3 = .



Пусть ABCDEFP – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P , M - центр правильного шестиугольника ABCDEF , K – середина AB , S – площадь боковой поверхности пирамиды. Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a , Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Кроме того, PK AB и MK AB . Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания – это угол PKM , а т.к. MK – высота равностороннего треугольника ABM со стороной a , то MK = . Из прямоугольного треугольника PKM находим, что
tg β = tg PKM = = = .

Тогда
cos β = = = .

Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды ABCDEFP на плоскость основания есть правильный шестиугольник ABCDEF . Следовательно,
S = = = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7023

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .