Задача 108780

Тема:    [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды равны a . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ

.

Пусть ABCDEFP – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P , M - центр правильного шестиугольника ABCDEF , K – середина AB , S – площадь боковой поверхности пирамиды. Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a , Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Кроме того, PK AB . Значит, PK – высота равнобедренного треугольника ABP , а т.к. MK – высота равностороннего треугольника ABM со стороной a , то MK = . Из прямоугольного треугольника PKM находим, что

PK = = = .
Все 6 боковых граней правильной пирамиды ABCDEFP – равные равнобедренные треугольники, поэтому
S = 6S_{Δ ABP} = 6· AB· PK = 3a· = .


Пусть ABCDEFP – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P , M - центр правильного шестиугольника ABCDEF , K – середина AB , S – площадь боковой поверхности пирамиды. Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a , Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Кроме того, PK AB и MK AB . Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания – это угол PKM , а т.к. MK – высота равностороннего треугольника ABM со стороной a , то MK = . Из прямоугольного треугольника PKM находим, что
tg β = tg PKM = = = .
Тогда
cos β = = = .
Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды ABCDEFP на плоскость основания есть правильный шестиугольник ABCDEF . Следовательно,
S = = = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7023