Задача 108800

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Свойства сечений ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите площадь сечения, проведённого через высоту и одно из ребёр правильного тетраэдра, если ребро тетраэдра равно a .

Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC . Поскольку DM – высота тетраэдра, треугольник AMD прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что

DM = = = a = a.
Плоскость, проведённая через ребро AD и высоту DM , пересекает ребро BC в его середине L . Искомое сечение – треугольник ADL с высотой DM и основанием AL . Поскольку DM = a , а AL = , то
S_{Δ ADL} = AL· DM = · · a = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7043