Задача 108803

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите расстояние между противоположными ребрами правильного тетраэдра с ребром a .

Ответ

.

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC (рис.1). Поскольку DM – высота тетраэдра, угол между ребром AD и плоскостью грани ABC – это угол DAM . Обозначим его α . В прямоугольном треугольнике DAM известно, что AD = a , AM = . Следовательно,

cos α = cos DAM = = = = , sin α = .
Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD и середину L противоположного ему ребра BC . Поскольку AL BC и DL BC , ребро BC перпендикулярно секущей плоскости. Поэтому высота LF треугольника ADL есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AD и BC . Из прямоугольного треугольника AFL находим, что
FL = AL sin FAL = AL sin α = · = .


Достроим правильный тетраэдр ABCD до параллелепипеда, проведя через его противоположные ребра три пары параллельных плоскостей (рис.2). Поскольку противоположные ребра правильного тетраэдра попарно равны и перпендикулярны, построенный параллелепипед – куб, диагональ грани которого равна a . Расстояние между противоположными ребрами тетраэдра равно ребру этого куба, т.е. .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7046