Задача 108804

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Векторное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a .

Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a (рис.1), M – центр грани ABC , R – искомый радиус описанной сферы. Поскольку DM – высота тетраэдра, угол между ребром AD и плоскостью грани ABC – это угол DAM . Обозначим его α . В прямоугольном треугольнике DAM известно, что AD = a , AM = . Следовательно,

cos α = cos DAM = = = = , sin α = .
Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD и середину L противоположного ему ребра BC (рис.2). Получим треугольник ALD , вершины A и D которого лежат на окружности радиуса R с центром на высоте DM . Продолжим AL до пересечения с окружностью в точке E . Равнобедренный треугольник ADE вписан в окружность радиуса R , поэтому
R = = = = .


Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , R – искомый радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1 , считая от вершины. Значит, центр описанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен высоты тетраэдра. Следовательно,
R = a = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7047