Задача 108827

Темы:    [ Прямые и плоскости в пространстве ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке.

Решение

Докажем сначала, что в одной точке пересекаются медианы тетраэдра. Для этого достаточно установить, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 3:1 , считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну и медиан тетраэдра в отношении 3:1 , считая от вершины, проходят остальные три медианы. Пусть M и N – точки пересечения медиан граней соответственно ABC и ABD тетраэдра ABCD (рис.1), K – середина AB . Плоскость, проходящая через точки D , K и C , содержит точки M и N , причём стороны CK и DK треугольника DKC делятся этими точками в одном и том же отношении:

CM:MK = DN:NK = 2:1.
Из подобия треугольников KCD и KMN следует, что
CD:MN = KC:KM = 3:1.
Пусть отрезки DM и CN пересекаются в точке O . Из подобия треугольников DOC и MON следует, что
OD:OM = OC:ON = CD:MN = 3:1,
что и требовалось доказать. Докажем теперь, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, также проходят через точку O . Пусть L – середина ребра CD (рис.2). Тогда отрезки DM и KL лежат в одной плоскости – плоскости треугольника KDC . Пусть они пересекаются в точке O' . Через точку D проведём прямую, параллельную CK , и обозначим через P точку пересечения этой прямой с продолжением отрезка KL . Тогда
DP = CK, KM = CK = DP.
Из подобия треугольников DO'P и MO'K находим, что
DO':O'M = DP:KM = 3:1.
Значит, точка O' совпадает с точкой O . Аналогично, отрезки, соединяющие середины рёбер BC и AD , а также BD и AC , проходят через точку O . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7108